Pwoblèm: limit tab la
Yon Martingale $10 sou yon tab $500. Konbyen fwa li kase, konbyen li pèdi lè sa rive, epi èske monte limit la ede?
Sis pèt youn dèyè lòt kase l: 1.8% pa sik sistèm nan, anviwon 60% sesyon 100 vire. Kase a koute $630. Monte limit la a $5,000 fè kase a pi ra (0.25% pa sik) epi pi gwo ($5,110). Pèt espere pou chak dola ou parye se 2.70% kèlkeswa limit la.
Pwoblèm nan
Yon jwè parye $10 sou woujpariWoujPari peman egal sou 18 nimewo wouj yo. An franse: rouge.Li tout → epi li double apre chak pèt, li rekòmanse apre yon genyen. Maksimòm tab la se $500. (a) Konbyen pèt youn dèyè lòt kase pwogresyonestratejiPwogresyonNenpòt règ ki chanje mize a dapre rezilta anvan yo. Pwogresyon negatif yo ogmante l apre pèt, pwogresyon pozitif yo apre genyen.Li tout → an? (b) Ki pwobabilitematematikPwobabiliteChans yon rezilta genyen, soti 0 rive 1 oswa soti 0% rive 100%. Yon sèl nimewo: 1/37 = 2.70%.Li tout → pa sik? (c) Kisa ki pèdi lè l kase? (d) Kijan yon limit $5,000 chanje repons yo? (e) Èske gen yon limit ki fè sistèm nan rapòte?
Solisyon (a)–(c)
Mize yo: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Setyèm nan ta 640 > 500, kidonk sis pèt kase l. (b) p(pèt) = 19/37 sou wouj; (19/37)⁶ = 0.0183, anviwon 1.8% pa sik. Yon sik dire anviwon de vire an mwayèn, kidonk yon sesyon 100 vire gen apeprè 50 sik epi p(omwen yon kase) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, sa vle di 63 initelajanIniteMize debaz yon sistèm oswa yon jwè travay avè l. Yo dekri pwogresyon yo an inite pou yo ka aplike sou nenpòt tab.Li tout → baz, kont $10 sik la t ap eseye genyen an.
Solisyon (d)
A $5,000: mize jiska 2,560 otorize; dizyèm mize a, 5,120, refize. Nèf pèt kase l: (19/37)⁹ ≈ 0.25% pa sik, anviwon 11% sesyon 100 vire. Pèt lè l kase: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Jwè a achte yon katastwòf ki pi ra pou pri yon katastwòf ki pi gwo. Sou anpil sesyon, pri espere kase yo se p × pèt ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 pa sik ak limit $500 la ak 0.0025 × 5,110 = $12.8 a $5,000; se, apre awondi, menm chif la, epi se pèt esperematematikPèt espereValè espere a miltipliye pa total lajan ou parye; mwayèn lajan ou pèdi sou yon sesyon oswa sou yon peryòd.Li tout → sik la plis $10 sik ki genyen yo rapòte.
Solisyon (e)
Non. Pèt espere pa sik = (total mize espere nan sik la) / 37, kèlkeswa limit la, paske chak pari se −1/37 valè pa li. Limit la sèlman deside kijan pèt la separe ant anpil ti genyen ak kèk gwo pèt. San limit epi ak yon kapital jwètlajanKapital jwètTout lajan ou mete apa pou jwe. Jere kapital jwèt ou se deside konbyen ladan l pou riske pou chak pari e pou chak sesyon.Li tout → enfini, pwogresyon an ta “mache”, nan sans li pa ta janm kase, epi li ta parye tou yon kantite san limit ak yon pèt espere 2.70% kantite san limit sa a. Se pa limit tabtabLimit tabPari minimòm ak maksimòm yo pèmèt. Se maksimòm nan ki kanpe pwogresyon kote ou double mize a.Li tout → la ki anpeche MartingaleestratejiMartingalePwogresyon ki double pari a apre chak pèt. Gade seksyon Estrateji a pou wè sa li fè ak sa li pa fè.Li tout → mache. Se kalkil la.
De vrè tab
Egzanp Thorp la se yon tab $1 ak yon maksimòm $1,000, kote yon jwè espere genyen $30 pou dine, yon dola alafwa. Mize 1, 2, 4 … 512 yo pèmèt dis pari, kidonk dis pèt youn dèyè lòt kase pwogresyon an: yon fwa sou 785 sik sou yon wou ewopeyen (yon fwa sou 613 sou yon wou ameriken), pou yon pri $1,023. Trant sik tout reyisi 96.2% fwa. Lòt 3.8% yo pèdi anviwon $1,000, epi rezilta mwayèn aswè a se −$9.17, ki se egzakteman 1/37 $339 trant sik yo mize an mwayèn. Yon tab $5 ak yon maksimòm $2,000 pa diferan: mize jiska $1,280 pèmèt nèf pari, epi kase a rive yon fwa sou 403 sik sou yon wou ewopeyen (yon fwa sou 323 sou yon wou ameriken) epi li koute $2,555.
Yon jwè rich
Bay pwogresyon an yon gwo kapital olye yon limit ba: 1,000 inite, yon baz yon inite ak 1,000 vire sou wouj, epi rekòmanse a yon inite chak fwa pwochen double a depase sa ki rete a. Nou te simile yon milyon aswè konsa. Sou yon wou ewopeyen, 52% fini nan benefis, 21% pèdi tout, epi rezilta mwayèn nan se −124 inite. Menm nan yon jwèt san zewowouZewoSèl kaz vèt la okenn pari peman egal, douzèn oswa kolòn pa kouvri; se sous avantaj kazino a. Yo rele l tou: yon sèl zewo, 0.Li tout →, kote chak pari ekitab, se sèlman anviwon 60% ki ta fini nan benefis. Aswè abityèl la se yon ti genyen; se aswè ki fini a zewo yo ki peye pou mwayèn nan.
Leson an
Kazino yo mete limit pou bloke pwòp varyansmatematikVaryansYon mezi ki montre jiska ki pwen rezilta yo gaye alantou valè espere a. Li wo pou pari sou yon sèl nimewo, li ba pou pari peman egal.Li tout → pa yo, pa pou bat sistèm yo. Bat Martingale se yon efè segondè yo kontan genyen, epi kalkil la t ap bat li kanmenm. Yon jwè ki kwè limit la se pwoblèm nan jwenn falèz la epi li pran l pou pant lan.
Fòmil
Kesyon
Li pèmèt ou siviv jiska yon limit pi wo, kote kase a pi ra epi pi gwo. Pèt espere pa dola pa chanje.
Mize 10, 30, 70, 150, 310: limit $500 la rive apre senk pèt, epi kase a koute $570. Menm 2.70% la.
Pou yon sèl jwè pa ka parye plis pase sa rezèv kazino a ka peye san pwoblèm. Jesyon varyans.
Jwe ak matematik
Eseye yo ou menm anvan. Chak solisyon kache; louvri l lè ou pare.
Yon MartingaleestratejiMartingalePwogresyon ki double pari a apre chak pèt. Gade seksyon Estrateji a pou wè sa li fè ak sa li pa fè.Li tout → kòmanse a $100 sou woujpariWoujPari peman egal sou 18 nimewo wouj yo. An franse: rouge.Li tout → e li pèmèt tèt li pou pi plis n pari pa sik: apre n pèt youn dèyè lòt li abandone e li rekòmanse. Ekri rezilta mwayèn yon sik kòm yon fòmil an n, epi kalkile l pou 5, 6 ak 7 pari sou yon wou ewopeyen.
Montre solisyon an
Repons Mwayèn nan se 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 pou 5 pari, −$17.35 pou 6 ak −$20.52 pou 7. Pèmèt plis pari fè sik mwayèn nan vin pi mal, pa pi bon.
Yon sik genyen $100 sòf si tout n pari yo pèdi, sa ki rive ak chans qⁿ, kote q = 19/37. Lè yo tout pèdi, mize 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ yo fè 100 × (2ⁿ − 1) an total. Kidonk mwayèn nan se 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Isit la 2q = 38/37, yon ti kras plis pase 1, kidonk (2q)ⁿ grandi ak n e mwayèn nan desann: n = 5 bay 1.1426 ak −$14.26; n = 6 bay 1.1735 ak −$17.35; n = 7 bay 1.2052 ak −$20.52. Yon nechèl pi long pèdi mwens souvan, nan 3.6%, 1.8% ak 0.9% sik yo, men chak pèt de fwa pi gwo, e plis lajan travèse tab la chak sik, a 2.70% sou chak pari.
Sou yon wou ameriken 2q = 40/38 e chif yo se −$29.24, −$36.04 ak −$43.20 (Taylor, 2021). Nan yon jwèt san zewowouZewoSèl kaz vèt la okenn pari peman egal, douzèn oswa kolòn pa kouvri; se sous avantaj kazino a. Yo rele l tou: yon sèl zewo, 0.Li tout → 2q = 1, e chak sik bay egzakteman zewo an mwayèn kèlkeswa longè nechèl la.
“Grand Martingale” la double mize a apre yon pèt e li ajoute yon initelajanIniteMize debaz yon sistèm oswa yon jwè travay avè l. Yo dekri pwogresyon yo an inite pou yo ka aplike sou nenpòt tab.Li tout →, kidonk mize yo se 1, 3, 7, 15, 31 … Konbyen ou genyen an benefis lè premye genyen an rive sou 1ye, 2yèm, 3yèm oswa kyèm pari a? Ak yon inite $10 ak yon maksimòm $500, konbyen fwa yon sik kase, e konbyen yon sik koute an mwayèn?
Montre solisyon an
Repons Yon genyen sou kyèm pari a kite ou k inite an benefis: +1, +2, +3 elatriye. A $10 ak $500 sik la kase apre senk pèt, 3.57% sik yo, pou −$570. An mwayèn, yon sik pèdi $2.32 sou $85.73 ki mize: 2.70%.
Kyèm mize a se 2ᵏ − 1 inite: 1, 3, 7, 15, 31. k − 1 premye mize yo fè 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Yon genyen sou kyèm pari a peye 2ᵏ − 1, kidonk sik la fini (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k inite an benefis: yon inite anplis pou chak pèt anvan genyen an.
A $10 pa inite, mize yo se $10, $30, $70, $150 ak $310; pwochen an, $630, depase maksimòm $500 la. Senk pèt youn dèyè lòt, (19/37)⁵ = 3.57%, koute 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Mwayèn: genyen yo rapòte $10 × k ak chans (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pou k = 1 rive 5, e kase a pran $570 ak chans 3.57%; ansanm −$2.32. Lajan ki mize a fè $85.73 an mwayèn pa sik, e 2.32/85.73 = 2.70%. Martingale òdinè a sou menm tab la kase apre sis pèt, 1.83% sik yo, pou −$630, e li pèdi $1.74 sou $64.20 ki mize: 2.70% ankò.
Yon jwè planifye yon Martingale sou wouj ak yon premye pari $1 sou yon tab kote limit la se $1,000, kidonk dis pari posib: $1, $2, $4 elatriye jiska $512. Konbyen fwa yon sik pèdi tout dis yo, konbyen tan sa pran an mwayèn, e konbyen fwa yon aswè 200 pari fini konsa?
Montre solisyon an
Repons Yon sik pèdi tout dis yo apeprè yon fwa sou 784, sa ki koute $1,023. Sa fè apeprè 1,600 pari an mwayèn, e yon aswè 200 pari frape mi an apeprè 11% nan ka yo. Yon sik toujou pèdi $0.31 an mwayèn sou $11.31 ki mize: 2.70%.
Yon pari sou wouj pèdi ak chans 19/37, zewo a ladan l. Dis youn dèyè lòt: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, apeprè 1 sou 784. Mize 1 + 2 + 4 + … + 512 yo fè $1,023 an total.
Yon sik pran 2.05 pari an mwayèn, kidonk 784 sik pran apeprè 1,600 pari. Si ou konte vire pa vire, yon seri dis pèt parèt yon kote nan 200 pari 11.3% nan ka yo.
Ant dezas yo, jwè a genyen $1 pa sik: apeprè $783 anvan move a, epi −$1,023, apeprè −$240 sou tout peryòd la. Pa sik: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Lajan ki mize pa sik: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. E −0.31/11.31 = −2.70%.
Konpare ak yon premye pari $10 ak yon limit $500, sis pari: mi an parèt yon fwa sou 55 sik, e yon aswè 200 pari rankontre l 84% nan ka yo. Yon limit pi wo fè aksidan an pi ra e pi gwo, pa pi bon mache.
Ti moman pou ri
Pi ra epi pi gwo, nan chak limit. Pwodwi a konstan.
Sous
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.